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第1章 概率空间1

1.1 样本空间1

1.1.1 随机现象1

1.1.2 样本空间1

1.1.3 随机事件3

1.1.4 概率3

习题1.14

1.2 古典型中概率的直接计算5

1.2.1 古典型5

1.2.2 常用排列组合公式6

1.2.3 例子6

习题1.29

1.3 几何型中概率的直接计算10

习题1.314

1.4 事件的σ域14

1.4.1 事件的关系和运算14

1.4.2 事件运算的性质15

1.4.3 事件列的极限16

1.4.4 事件的σ域17

1.4.5 子σ域与域的生成18

1.4.6 博雷尔域19

习题1.420

1.5 概率的公理化定义21

1.5.1 概率的定义21

1.5.2 概率的性质21

1.5.3 加法定理23

1.5.4 例子27

习题1.530

第2章 条件概率与独立性32

2.1 条件概率与乘法公式32

2.1.1 条件概率的定义32

2.1.2 条件概率的性质33

2.1.3 乘法公式34

习题2.137

2.2 全概率公式与贝叶斯公式38

2.2.1 全概率公式38

2.2.2 贝叶斯公式41

习题2.242

2.3 事件的独立性43

2.3.1 两个事件的独立性43

2.3.2 多个事件的独立性44

2.3.3 独立事件的概率计算公式47

习题2.349

2.4 独立试验50

2.4.1 试验的独立性50

2.4.2 伯努利试验52

2.4.3 无穷次伯努利试验55

2.4.4 分赌本问题57

习题2.458

第3章 随机变量59

3.1 随机变量的定义59

3.1.1 问题提出59

3.1.2 可测函数59

3.1.3 随机变量的定义61

习题3.163

3.2 概率分布与分布函数64

3.2.1 随机变量的概率分布64

3.2.2 随机变量的分布函数65

3.2.3 分布函数的性质65

习题3.270

3.3 离散型随机变量71

3.3.1 定义及分布列71

3.3.2 与独立试验有关的分布72

3.3.3 泊松分布75

3.3.4 超几何分布76

习题3.377

3.4 连续型随机变量77

3.4.1 连续型随机变量的定义77

3.4.2 均匀分布80

3.4.3 正态分布80

3.4.4 高斯推导正态分布的思路83

3.4.5 指数分布 Γ分布与泊松事件流84

习题3.489

3.5 随机变量函数的分布90

3.5.1 离散型随机变量函数的分布90

3.5.2 连续型随机变量函数的分布90

3.5.3 反问题94

习题3.594

第4章 随机向量96

4.1 随机向量及其分布96

4.1.1 随机向量的定义96

4.1.2 联合分布函数和边缘分布函数97

习题4.1100

4.2 离散型与连续型随机向量100

4.2.1 离散型随机向量100

4.2.2 多项分布102

4.2.3 连续型随机向量104

4.2.4 多维正态分布106

习题4.2109

4.3 随机变量的独立性109

4.3.1 独立性定义109

4.3.2 多个随机变量的独立性112

习题4.3114

4.4 条件分布114

4.4.1 条件分布定义114

4.4.2 随机变量的全概率公式与贝叶斯公式118

习题4.4120

4.5 随机向量函数的分布121

4.5.1 定义及有关性质121

4.5.2 卷积123

4.5.3 一般方法126

4.5.4 最大值与最小值分布130

4.5.5 随机向量的变换132

习题4.5135

第5章 随机变量的数字特征137

5.1 随机变量的数学期望137

5.1.1 离散型随机变量的数学期望137

5.1.2 连续型随机变量的数学期望139

5.1.3 数学期望的一般定义（一）141

5.1.4 数学期望的一般定义（二）144

5.1.5 数学期望的性质146

习题5.1151

5.2 方差 矩152

5.2.1 方差的定义153

5.2.2 方差的性质155

5.2.3 矩156

5.2.4 切比雪夫不等式158

习题5.2159

5.3 随机向量的数字特征160

5.3.1 随机向量函数的数字特征160

5.3.2 两个随机变量的协方差 相关性162

5.3.3 不相关与独立性167

5.3.4 随机向量的数学期望与协方差阵168

5.3.5 分解法求数学期望与方差169

习题5.3172

5.4 条件数学期望173

5.4.1 由条件概率分布所确定的条件数学期望174

5.4.2 关于随机变量的条件数学期望175

5.4.3 关于子σ域的条件数学期望179

习题5.4183

第6章 特征函数185

6.1 特征函数的基本性质185

6.1.1 定义及例子185

6.1.2 特征函数的基本性质187

习题6.1191

6.2 逆转公式与唯一性定理191

6.2.1 逆转公式与唯一性定理191

6.2.2 分布函数的卷积与特征函数的乘积195

6.2.3 分布函数的再生性与可分性197

习题6.2198

6.3 随机向量的特征函数198

6.4 关于多维正态分布的一些注记201

6.4.1 密度函数与特征函数201

6.4.2 联合分布为正态的判定204

6.4.3 线性变换与正交变换206

习题6.4208

6.5 矩母函数与概率母函数208

6.5.1 矩母函数208

6.5.2 概率母函数209

习题6.5211

第7章 大数定律与中心极限定理212

7.1 概率论的三个古典极限定理212

7.2 随机变量序列的收敛性214

7.2.1 依概率收敛214

7.2.2 几乎必然收敛216

7.2.3 依分布收敛217

习题7.2220

7.3 大数定律221

7.3.1 定义221

7.3.2 弱大数律221

7.3.3 应用大数定律的例子225

习题7.3226

7.4 强大数定律227

7.4.1 几乎必然收敛的条件228

7.4.2 柯尔莫戈洛夫不等式230

7.4.3 柯尔莫戈洛夫判别法231

7.4.4 柯尔莫戈洛夫定理233

习题7.4235

7.5 中心极限定理236

7.5.1 一般定义236

7.5.2 独立同分布场合下的中心极限定理237

7.5.3 独立同分布场合中心极限定理的应用238

7.5.4 独立不同分布场合下的中心极限定理242

习题7.5250

附录A 测度与积分252

附录B 波赫纳-辛钦定理291

附录C 连续性定理294

附录D 常用分布表298

习题答案与提示303

参考文献311

索引312